Question

7．有四个命题
①若$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，则$\overrightarrow p与\overrightarrow a、\overrightarrow b$共面
②若$\overrightarrow p与\overrightarrow a、\overrightarrow b$共面，则$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$
③若$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$，则M、N、A、B四点共面
④若M、N、A、B四点共面，则$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$
其中真命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 在①中，由平面向量基本定理得$\overrightarrow p与\overrightarrow a、\overrightarrow b$一定在同一平面内；在②中，如果$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线，$\overrightarrow{p}$就不一定能用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$来表示；在③中，若$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$，则$\overrightarrow{MN}、\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$三向量在同一平面内；在④中，若M、N、A、B共线，则$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$不一定成立．

解答 解：在①中，若$\overrightarrow p=x\overrightarrow a+y\overrightarrow b$，则由平面向量基本定理得$\overrightarrow p与\overrightarrow a、\overrightarrow b$一定在同一平面内，故①正确；在②中，若$\overrightarrow p与\overrightarrow a、\overrightarrow b$共面，但如果$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$共线，$\overrightarrow{p}$就不一定能用$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$来表示，故②错误；
在③中，若$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$，则$\overrightarrow{MN}、\overrightarrow{MA}、\overrightarrow{MB}$三向量在同一平面内，所以M、N、A、B四点共面，故③正确；
在④中，若M、N、A、B四点共面，且M、N、A、B共线，则$\overrightarrow{MN}=x\overrightarrow{MA}+Y\overrightarrow{MB}$不一定成立，故④错误．
故选：B．

点评 本题命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间向量的性质的合理运用．