Question

已知曲线C:y=3x⁴-2x³-9x²+4.

(1)求曲线C上横坐标为1的点的切线方程;

(2)第(1)小题中切线与曲线C是否还有其他公共点?

Answer 1

解：(1)把x=1代入C的方程,求得y=-4.

∴切点为（1，-4）.

∵y′=12x³-6x²-18x,

∴切线斜率为k=12-6-18=-12.

∴切线方程为y+4=-12(x-1),

即y=-12x+8.

(2)由得

3x⁴-2x³-9x²+12x-4=0,

(x-1)²(x+2)(3x-2)=0,

x=1,-2,.

代入y=3x⁴-2x³-9x²+4，求得y=-4,32,0,即公共点为（1,-4）（切点），(-2,32),(,0).

除切点外，还有两个交点（-2,32）、(,0).