Question

14．已知{a_n}是等差数列，{b_n}是等比数列，且b₂=3，b₃=9，a₁=b₁，a₁₄=b₄．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=a_n+b_n，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）等比数列{b_n}的公比为q，等差数列{a_n}的公差为d，由等差数列和等比数列的通项公式，即可得到首项和d，q，进而得到所求通项公式；
（Ⅱ）求得a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1，c_n=a_n+b_n=2n-1+3^n-1，运用数列的求和方法：分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．

解答 解：（Ⅰ）等比数列{b_n}的公比q=$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}$=$\frac{9}{3}$=3，
b₁=$\frac{{b}_{2}}{q}$=$\frac{3}{3}$=1，
b₄=b₃q=9×3=27，
设等差数列{a_n}的公差为d，而a₁=1，a₁₄=27．
可得1+13d=27，即d=2，
即有a_n=1+2（n-1）=2n-1，n∈N*；
（Ⅱ）a_n=1+2（n-1）=2n-1，b_n=3^n-1，
c_n=a_n+b_n=2n-1+3^n-1，
前n项和S_n=（1+3+…+2n-1）+（1+3+…+3^n-1）
=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）+$\frac{1-{3}^{n}}{1-3}$
=n²+$\frac{{3}^{n}-1}{2}$．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．