题目内容

x，y是两个不相等的正数，且满足x³-y³=x²-y²，则[9xy]的最大值为________．（其中[x]表示不超过x的最大整数）．

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分析：由x，y是两个不相等的正数，且满足x³-y³=x²-y²，知x²+xy+y²=x+y，将其看成y的函数，解出y= $\text{[math]}$ （1-x± $\text{[math]}$ ），由定义域知- $\text{[math]}$ ＜x＜1，由此借助三角函数能求出[9xy]的最大值．
解答：∵x，y是两个不相等的正数，且满足x³-y³=x²-y²，∴x²+xy+y²=x+y，
将其看成y的函数，解出y= $\text{[math]}$ （1-x± $\text{[math]}$ ），由定义域知- $\text{[math]}$ ＜x＜1，
若y= $\text{[math]}$ （1-x- $\text{[math]}$ ），
解y＞0，1-x- $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ＞0，1-x＞1+3x，x＜0，与x，y同为正数不符，
所以y= $\text{[math]}$ （1-x+ $\text{[math]}$ ），且y＞0，x＞0，
（1+2x-3x²）=3[ $\text{[math]}$ -（x- $\text{[math]}$ ）²]，
设x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinα，即x= $\text{[math]}$ （1+2sinα），其中- $\text{[math]}$ ≤α≤ $\text{[math]}$ ，
由x＞0，知- $\text{[math]}$ ＜α≤ $\text{[math]}$ ，
y= $\text{[math]}$ （1-x+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ （1-sinα+ $\text{[math]}$ cosα），
由x，y不相等，知1+2sinα≠1-sinα+ $\text{[math]}$ cosα，tanα≠ $\text{[math]}$ ，知α≠ $\text{[math]}$ ，
9xy=（1+2sinα）（1-sinα+ $\text{[math]}$ cosα）=1+sinα+ $\text{[math]}$ cosα-2sin²α+2 $\text{[math]}$ sinαcosα，
∵（sinα+ $\text{[math]}$ cosα）²=sin²α+2 $\text{[math]}$ sinαcosα+3cos²α=3-2sin²α+2 $\text{[math]}$ sinαcosα，
9xy=-2+sinα+ $\text{[math]}$ cosα+（sinα+ $\text{[math]}$ cosα）²=（sinα+ $\text{[math]}$ cosα+ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ，
∵sinα+ $\text{[math]}$ cosα=2sin（α+ $\text{[math]}$ ），- $\text{[math]}$ ＜α≤ $\text{[math]}$ ，α≠ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ＜α+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ，但α+ $\text{[math]}$ ≠ $\text{[math]}$ ，
∴1≤2sin（α+ $\text{[math]}$ ）＜2．
所以9xy=（sinα+ $\text{[math]}$ cosα+ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ ＜（2+ $\text{[math]}$ ）²- $\text{[math]}$ =4．
∴[9xy]的最大值为3．
故答案为：3．
点评：本题考查函数值域的求法，综合性强，难度大，具有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．