Question

16．给定两个命题p：函数y=x²+8ax+1在[-1，1]上单调递增；q：方程$\frac{x^2}{a+2}+\frac{y^2}{a-1}$=1表示双曲线，如果命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 先求出命题p、q为真时a的范围，由命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题得p真q假，p假q真列式计算即可．

解答 解：对于命题p：函数y=x²+8ax+1的对称轴为x=-4a
由函数y=x²+8ax+1在[-1，1]上单调递增得-4a≤-1，解得$a≥\frac{1}{4}$，
对于命题q：由方程$\frac{x^2}{a+2}+\frac{y^2}{a-1}=1$表示双曲线得（a+2）（a-1）＜0，解得-2＜a＜1，
命题“p∧q”为假命题，“p∨q”为真命题，有两种情况：
（1）当p真q假时，$a≥\frac{1}{4}$，且a≥1，或a≤-2，解得a≥1
（2）当p假q真时，$a＜\frac{1}{4}$，且-2＜a＜1，解得-2＜a＜$\frac{1}{4}$
综上可得，实数a的取值范围为-2＜a＜$\frac{1}{4}$或a≥1．

点评 本题考查了命题真假的应用，属于基础题．