题目内容
1．已知数列{an}满足点{an，an+1）在直线y=2x+1上，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式an和Sn；
（2）若bn=（an+1）log${\;}_{\frac{1}{2}}$（an+1），（n∈N*），设数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值．
分析 （1）依题意，可得数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，于是可求得数列{an}的通项公式an和Sn；
（2）化简bn=（an+1）log${\;}_{\frac{1}{2}}$（an+1）为bn=-n•2n，利用错位相减法可求得数列{bn}的前n项和为Tn=（1-n）2n+1-2，代入Tn+n•2n+1＞50可得使之成立的正整数n的最小值．
解答 解：（1）∵点{an，an+1）在直线y=2x+1上，
∴an+1=2an+1，即an+1+1=2（an+1），又a1=1，a1+1=2，
∴数列{an+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an+1=2n，
∴an=2n-1．
Sn=a1+a2+…an=（21+22+…+2n）-n=$\frac{2（1{-2}^{n}）}{1-2}$-n=2n+1-n-2．
（2）∵bn=（an+1）log${\;}_{\frac{1}{2}}$（an+1）=2nlog${\;}_{\frac{1}{2}}$2n=-n•2n，
∴-Tn=1•21+2•22+…+n•2n，①
-2Tn=1•22+2•23+…+…+（n-1）•2n+n•2n+1，②
①-②得：Tn=21+22+…+2n-n•2n+1=2n+1-2-n•2n+1=（1-n）2n+1-2．
要使Tn+n•2n+1＞50成立，即（1-n+n）2n+1-2=2n+1-2＞50成立，
∵25=32＜52，26=64＞52，即当n+1≥6，n≥5时，2n+1-2＞50恒成立，
∴使Tn+n•2n+1＞50成立的正整数n的最小值为5．
点评 本题考查数列的递推式，考查等比数列的关系的确定与通项公式的求法，突出考查错位相减法求和的应用，考查转化思想与运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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为偶函数，且在
单调递增，则
的解集为（ ）
或
B．
或
D．
9．设离散型随机变量X的分布列为：
则p的值为（ ）
| X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | $\frac{1}{6}$ | $\frac{1}{3}$ | $\frac{1}{6}$ | p |
| A． | $\frac{1}{2}$ | B． | $\frac{1}{4}$ | C． | $\frac{1}{3}$ | D． | $\frac{1}{6}$ |
16．对于R上可导的任意函数f（x），若满足f（x）=f（2-x），且（x-1）f′（x）≥0，则必有（ ）
| A． | f（0）+f（2）＜2f（1） | B． | f（0）+f（2）≤2f（1） | C． | f（0）+f（2）≥2f（1） | D． | f（0）+f（2）＞2f（1） |
如图所示，在△OAB中，M、N分别是OA、OB的中点，点P在梯形ABNM区域（含边界）上移动，且$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OM}+y\overrightarrow{ON}$，则4x+3y的取值范围是[3，8]．
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=a，E为CP中点，