Question

在平面直角坐标系xOy中，直线的参数方程

x=t+1 y=2t

（t为参数），曲线C的参数方程为

x=2tan2θ y=2tanθ

（θ为参数）．
（Ⅰ）求直线与曲线C的普通方程；
（Ⅱ）求直线与曲线C的公共点为直径的圆的极坐标方程．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,抛物线的参数方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（Ⅰ）消去参数t，化直线的参数方程为一般方程，消去参数θ，化曲线C的参数方程为普通方程；
（Ⅱ）由题意，直线方程与曲线C的方程联立，求出直线与曲线C的交点A、B，写出以AB为直径的圆的方程，再化为圆的极坐标方程．

解答：解：（Ⅰ）∵直线的参数方程为

x=t+1 y=2t

（t为参数），消去参数t，
∴直线的直角坐标方程为2x-y-2=0；
∵曲线C的参数方程为

x=2tan2θ y=2tanθ

（θ为参数），
消去参数θ，
∴曲线C的直角坐标方程为y²=2x；
（Ⅱ）由题意，

y2=2x 2x-y-2=0

，
解得

x1=2 y1=2

，

x2= 1 2 y2=-1

．
∴直线与曲线C的交点为A(2，2)，B(

1

2

，-1)．
∴以A(2，2)，B(

1

2

，-1)为直径的圆的方程为：
(x-2)(x-

1

2

)+(y-2)(y+1)=0（也可求出圆的圆心，半径写出方程）
化简得：x2+y2-

5

2

x-y-1=0，
由极坐标系与直角坐标系的互化关系

x=ρcosθ y=ρsinθ

，得：圆的极坐标方程为ρ2-

5

2

ρcosθ-ρsinθ-1=0．

点评：本题考查了直角坐标系与参数方程、极坐标的互化问题，解题时应熟记公式，认真解答，是中档题．