Question

19．若存在x∈（1，+∞），不等$\frac{1+ax}{x-{x}^{2}}≥1$成立，则实数a的最大值为-1．

Answer 1

分析 由题意可得1+ax≤x-x²成立，即有a≤1-x-$\frac{1}{x}$，运用基本不等式求得右边函数的取值范围，即可得到a的范围．

解答 解：不等式$\frac{1+ax}{x-{x}^{2}}≥1$对x＞1成立，
即有1+ax≤x-x²成立，
即有a≤1-x-$\frac{1}{x}$，
由x+$\frac{1}{x}$＞2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2，可得
1-x-$\frac{1}{x}$＜1-2=-1，
则有a≤-1，
故a的最大值为-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查不等式成立问题的解法，注意运用参数分离和基本不等式，考查运算能力，属于中档题．