Question

写出(x-y)¹¹的展开式中：（1）通项T_r+1;(2)二项式系数最大的项；（3）项的系数绝对值最大的项；（4）项的系数最大的项；（5）项的系数最小的项；（6）二项式系数的和；（7）各项的系数的和.

Answer 1

分析：本题的最大特点是展开式的二项式系数与项的系数有的相同，有的仅差一负号.因此，系数最大和最小的项可直接利用二项式系数最大和最小的项来解决.二项式系数的和可利用和为2ⁿ这一性质求解；各项系数的和可利用二项式定理或赋值法求解.

解：（1）T_r+1=(-1)^r·Cx^11-ry^r.

(2)展开式中二项式系数最大的项为中间两项T₆=-Cx⁶y⁵,T₇=Cx⁵y⁶.

(3)由于本题中系数绝对值最大的项就是二项式系数最大的项，因此，系数绝对值最大的项也是中间两项T₆=-Cx⁶y⁵,T₇=Cx⁵y⁶.

(4)由（3）知，项的系数最大的项是T₇=Cx⁵y⁶.

(5)由（3）知，项的系数最小的项是T₆=-Cx⁶y⁵.

(6)展开式中，二项式系数的和为C+C+…+C=2¹¹.

(7)展开式中，各项系数的和为C+…+(-1)¹¹C=(1-1)¹¹=0¹¹=0.

绿色通道:本题是关于二项式系数性质应用的典型示例.此题起点较低，却包含了各种题型，在学习中应予以重视.