Question

4．已知函数f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²+bx（a≠0）．
当a=-2时，函数h（x）=f（x）-g（x）在其定义域上是增函数，若函数φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln 2]，求函数φ（x）的最小值．

Answer 1

分析 将a=-2代入h（x）=f（x）-g（x）中，求得h（x）的解析式，然后求出其导数，利用导数的性质结合题中已知条件便可求出b的取值范围；根据题意先求出φ（x）的解析式，然后分别讨论b的范围，确定函数的单调性，从而求出函数φ（x）的最小值即可．

解答 解：依题意：h（x）=ln x+x²-bx，h（x）在（0，+∞）上是增函数，
∴h′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-b≥0对x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤$\frac{1}{x}$+2x，∵x＞0，则$\frac{1}{x}$+2x≥2$\sqrt{2}$（当x═$\frac{\sqrt{2}}{2}$时取等号）．
∴b的取值范围为（-∞，2$\sqrt{2}$]．
设t=e^x，则函数化为y=t²+bt，t∈[1，2]，∵y=（t+$\frac{b}{2}$）²-$\frac{{b}^{2}}{4}$，
∴①当-$\frac{b}{2}$≤1，即-2≤b≤2$\sqrt{2}$时，函数y在[1，2]上为增函数，
当t=1时，y_min=b+1．
②当1＜-$\frac{b}{2}$＜2，即-4＜b＜-2时，当t=-$\frac{b}{2}$时，y_min=-$\frac{{b}^{2}}{4}$．
③当-$\frac{b}{2}$≥2，即b≤-4时，函数y在[1，2]上为减函数，当t=2时，y_min=4+2b．
综上所述，当-2≤b≤2$\sqrt{2}$时，φ（x）_min=b+1；
当-4＜b＜-2时，φ（x）_min=-$\frac{{b}^{2}}{4}$；
当b≤-4时，φ（x）_min=4+2b．

点评 本题主要考查了利用导数求闭区间上函数的最值和函数的单调性，考查了学生的计算能力和对函数的综合掌握，解题时注意分类讨论的数学思想的运用，是各地高考的常考题，属于中档题．