Question

15．设抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B．设C（$\frac{7}{2}$p，0），AF与BC相交于点E．若|CF|=2|AF|，且△ACE的面积为2$\sqrt{2}$，则p的值为2．

Answer 1

分析 如图所示，F（$\frac{p}{2}$，0）．|由于AB∥x轴，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，可得|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|．利用抛物线的定义可得x_A，代入可取y_A，再利用S_△ACE=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3p}{2}×\sqrt{2}p$，即可得出．

解答 解：如图所示，F（$\frac{p}{2}$，0）．|CF|=3p．
∵AB∥x轴，|CF|=2|AF|，|AB|=|AF|，
∴|CF|=2|AB|=3p，|CE|=2|BE|．
∴x_A+$\frac{p}{2}$=$\frac{3p}{2}$，解得x_A=p，
代入可取y_A=$\sqrt{2}$p，
∴S_△ACE=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×\frac{3p}{2}×\sqrt{2}p$=2$\sqrt{2}$，
解得p=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了抛物线的定义及其性质、平行线的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．