Question

4．若直线y=kx与曲线y=lnx有两个公共点，则实数k的取值范围为$（0，\frac{1}{e}）$．

Answer 1

分析 可画出图形，可看出位于直线和曲线相切和x轴之间的直线满足和曲线y=lnx有两个公共点，可设切点为（x₀，kx₀），而斜率$k=\frac{1}{{x}_{0}}$，从而求出切点纵坐标，进而便可求出x₀=e，得出k，从而得出实数k的取值范围．

解答 解：如图，直线y=kx和曲线y=lnx相切时，直线和曲线只有一个公共点，直线绕点O顺时针旋转会出现两个公共点，直到与x轴重合又变成一个公共点；
设切点为（x₀，kx₀），k=$\frac{1}{{x}_{0}}$；
∴切点为（x₀，1）；
∴1=lnx₀；
∴x₀=e；
∴k=$\frac{1}{e}$；
∴0$＜k＜\frac{1}{e}$；
∴实数k的取值范围为$（0，\frac{1}{e}）$．
故答案为：$（0，\frac{1}{e}）$．

点评 考查函数在其图象上某点的切线斜率和函数在切点处导数的关系，数形结合解题的方法，曲线上点的坐标和曲线方程的关系．