Question

4．如图，已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，AB=2，AA₁=1，直线BD与平面AA₁B₁B所成的角为30°，AE垂直BD于E，F为A₁B₁的中点．
（1）求异面直线AE与BF所成的角的余弦；
（2）求平面BDF与平面AA₁B所成二面角（锐角）的余弦；
（3）求点A到平面BDF的距离．

Answer 1

分析 以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AA₁所在直线为z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，
（1）求出$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1）．利用数量积求解异面直线AE、BF所成的角的余弦值．
（2）推出平面AA₁B的一个法向量，平面BDF的一个法向量．利用数量积求解平面BDF与平面AA₁B所成二面角（锐角）的余弦值．
（3）点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$上的投影的绝对值．代入公式求解即可．

解答 解：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，
AA₁所在直线为z轴建立空间直角坐标系如图．       …（1分）

由已知AB=2，AA₁=1，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、F（1，0，1）．…（2分）
又AD⊥平面AA₁B₁B，从而BD与平面AA₁B₁B所成的角即为∠DBA=30°，
又AB=2，AE⊥BD，AE=1，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
从而易得E（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），D（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）．    …（3分）
（1）∵$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1）．
$cos（\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BF}）$=$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BF}}{|\overrightarrow{AE}||\overrightarrow{BF}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
即异面直线AE、BF所成的角的余弦为$\frac{\sqrt{2}}{4}$．…（4分）
（2）易知平面AA₁B的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），…（5分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）是平面BDF的一个法向量．
$\overrightarrow{BD}$=（-2，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，0）．
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{BF}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{BD}}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{-x+z=0}\\{2x-\frac{2\sqrt{3}}{3}y=0}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{x=z}\\{\sqrt{3}x=y}\end{array}\right.$  …（6分）
取$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，1），∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{1×\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$．
即平面BDF与平面AA₁B所成二面角（锐角）的余弦值为$\frac{\sqrt{15}}{5}$．…（8分）
（3）点A到平面BDF的距离，
即AB在平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$上的投影的绝对值．    …（9分）
所以距离d=$||\overrightarrow{AB}|•cos＜\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{n}＞|$=|$\overrightarrow{AB}$|$•\frac{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
所以点A到平面BDF的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．…（12分）．

点评 本题考查空间向量的数量积的应用，平面与平面市场价的求法，异面直线市场价以及点到平面的距离的求法，考查空间想象能力以及计算能力．