Question

16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且B=60°，c=4．
（Ⅰ）若b=6，求角C的余弦值；
（Ⅱ）若点D，E在线段BC上，且BD=DE=EC，$AE=2\sqrt{3}BD$，求AD的长．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理求出sinC，从而能求出cosC．
（Ⅱ）由正弦定理求出∠BAE=30°，从而得到∠AEB=90°，BE=2，DE=1，由此能求出AD的长．

解答 （满分12分）
解：（Ⅰ）∵由正弦定理得：$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$------------------------------------------------（1分）
∵B=60°，c=4，b=6，∴$\frac{4}{sinC}=\frac{6}{{sin{{60}°}}}$，
∴$sinC=\frac{{4×sin{{60}°}}}{6}=\frac{{4×\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{6}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$------------------------------------------------------（4分）
∵b＞c∴∠B＞∠C∴∠C为锐角--------------------------------------------------------------（5分）
∴$cosC=\sqrt{1-{{sin}^2}C}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$------------------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）∵BD=DE=EC，$AE=2\sqrt{3}BD$，
∴$AE=\sqrt{3}BE$----------------------------------------------------------------------------------（8分）
在$△ABC中，\frac{AE}{sinB}=\frac{BE}{sin∠BAE}$，
∵B=60°，∴$sin∠BAE=\frac{BE•sinB}{AE}=\frac{1}{{\sqrt{3}}}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}$，
∴∠BAE=30°或150°（不合题意，舍去）----------------------------------------（10分）
∴$∠AEB={90°}且BE=\sqrt{A{B^2}-A{E^2}}=\sqrt{{4^2}-（2\sqrt{3}{）^2}}=2$，
∴$DE=\frac{1}{2}BE=1$，
∴$AD=\sqrt{A{E^2}+D{E^2}}=\sqrt{（2\sqrt{3}{）^2}+{1^2}}=\sqrt{13}$．------------------------------------（12分）

点评 本题考查角的余弦值的求法，考查线段长的求法，考查正弦定理、余弦定理、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．