Question

若不等式|x-3|+|x+5|-ax＞0（x∈R，a＞0）恒成立，则实数a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：令f（x）=|x-3|+|x+5|=，g（x）=ax，则由题意可得a＞0时，f（x）＞g（x）恒成立，故函数y=f（x）的图象必在函数y=g（x）的图象的上方，数形结合求得实数a的取值范围．

解答： 解：令f（x）=|x-3|+|x+5|=

-2x-2，x＜-5 8，-5≤x＜3 2x+2，x≥3

，g（x）=ax，则由题意可得a＞0时，f（x）＞g（x）恒成立，
故函数y=f（x）的图象必在函数y=g（x）的图象的上方，
如图所示：
函数f（x）最右边的那条射线的斜率为2，
由于点B（3，8），直线OB的斜率为K_OB=

8

3

＞2，
故实数a的取值范围为 0＜a≤2，
故答案为：（0，2]．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．