题目内容

1．直线y=a分别与曲线y=2x+5，y=x+lnx交于A，B两点，则|AB|的最小值为（　　）
A．3B．4C．$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$D．6

分析 设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+5=x2+lnx2，表示出x1，求出|AB|，利用导数求出|AB|的最小值．

解答 解：设A（x1，a），B（x2，a），则2x1+5=x2+lnx2，
∴x1=$\frac{1}{2}$（x2+lnx2-5），
∴|AB|=x2-x1=x2-$\frac{1}{2}$（x2+lnx2-5）=$\frac{1}{2}$（x2-lnx2+5），
令y=$\frac{1}{2}$（x-lnx）+$\frac{5}{2}$，则y′=$\frac{x-1}{2x}$，
∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，函数的最小值为3，
∴|AB|的最小值为3，
故选：A

点评 本题考查导数知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，正确求导确定函数的单调性是关键．

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其中所有正确命题的序号是②③④．
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