题目内容
14．设倾斜角为α的直线l经过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F，与抛物线C交于A，B两点，设点A在x轴上方，点B在x轴下方．若$\frac{|AF|}{|BF|}=m$，则cosα的值为（ ）| A． | $\frac{m-1}{m+1}$ | B． | $\frac{m}{m+1}$ | C． | $\frac{m-1}{m}$ | D． | $\frac{{2\sqrt{m}}}{m+1}$ |
分析 由题意可知：∠BAC等于直线AB的倾斜角α，根据抛物线的定义，分别求得丨AC丨及丨AB丨，即可求得cosα的值．
解答 解：设抛物线y2=2px（p＞0）的准线为l：x=-$\frac{p}{2}$．
如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．
在三角形ABC中，∠BAC等于直线AB的倾斜角α，
由$\frac{|AF|}{|BF|}=m$，|AF|=m|BF|，丨AB丨=丨AF丨+丨BF丨=（m+1）丨BF丨，
根据抛物线的定义得：|AM|=丨AF丨=m|BF|，丨BN丨=丨BF丨，
∴|AC|=丨AM丨-丨MC丨=m|BF|-丨BF丨=（m-1）丨BF丨，
在直角三角形ABC中，cosα=cosα∠BAC=$\frac{丨AC丨}{丨AB丨}$=$\frac{（m-1）丨BF丨}{（m+1）丨BF丨}$=$\frac{m-1}{m+1}$；
故选A．
点评 本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的性质，考查数形结合思想，属于中档题．
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2．定义“函数y=f（x）是D上的a级类周期函数”如下：函数y=f（x），x∈D，对于给定的非零常数a，总存在非零常数T，使得定义域D内的任意实数x都有af（x）=f（x+T）恒成立，此时T为f（x）的周期．若y=f（x）是[1，+∞）上的a级类周期函数，且T=1，当x∈[1，2）时，f（x）=2x（2x+1），且y=f（x）是[1，+∞）上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）
| A． | $[{\frac{5}{6}，+∞}）$ | B． | [2，+∞） | C． | $[{\frac{10}{3}，+∞}）$ | D． | [10，+∞） |
如图，矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点，将△DAM沿AM折到△D′AM的位置，AD′⊥BM．
已知五边形ABCDE是由直角梯形ABCD和等腰直角三角形ADE构成，如图所示，AB⊥AD，AE⊥DE，AB∥CD，且AB=2CD=2DE=4，将五边形ABCDE沿着AD折起，且使平面ABCD⊥平面ADE．
6．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-φ）-cos（2x-φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象关于y轴对称，则f（x）在区间$[{-\frac{π}{6}，\frac{π}{3}}]$上的最大值为（ ）
| A． | 1 | B． | $\sqrt{3}$ | C． | $\sqrt{2}$ | D． | 2 |
3．随着手机的发展，“微信”逐渐成为人们交流的一种形式，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频率分布及“使用微信交流”赞成人数如下表．
（1）若以“年龄45岁为分界点”，由以上统计数据完成下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“使用微信交流”的态度与人的年龄有关；
（2）若从年龄在[55，65）的被调查人中随机选取2人进行追踪调查，求2人中至少有1人不赞成“使用微信交流”的概率．
参考数据：
（K2=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）
| 年龄（岁） | [15，25） | [25，35） | [35，45） | [45，55） | [55，65） | [65，75） |
| 频数 | 5 | 10 | 15 | 10 | 5 | 5 |
| 赞成人数 | 5 | 10 | 12 | 7 | 2 | 1 |
| 年龄不低于45岁的人数 | 年龄低于45岁的人数 | 合计 | |
| 赞成 | |||
| 不赞成 | |||
| 合计 |
参考数据：
| P（K2≥k0） | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |