Question

4．已知函数f（x）=sin2x+2cos²x-1，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）在区间[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函数的最小正周期．
（2）函数f（x）x在区间[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值．

解答 解：函数f（x）=sin2x+2cos²x-1，x∈R．
化简可得：f（x）=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$）．
（1）函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$．
（2）x在区间[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上，即$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$≤x≤$\frac{π}{4}}\end{array}$，
那么：$\frac{π}{4}$≤2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$≤$\frac{5π}{4}$
根据三角函数的性质可知：
当2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为f（$\frac{π}{2}$）_max=$\sqrt{2}$．
当2x+$\frac{π}{4}}\end{array}$=$\frac{5π}{4}$时，函数f（x）取得最大值为f（$\frac{5π}{4}$）min=-1．
故得函数f（x）在区间[$\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}}\end{array}$]上的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为-1．

点评 本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题．