Question

已知直角梯形PBCD，A是PD边上的中点（如图3甲），∠D=∠C=

π

2

，BC=CD=2，PD=4，将△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，点E在SD上，且

SE

=

1

3

SD

，（如图乙）
（1）求证：SA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．

Answer 1

分析：（1）根据面面垂直的判定定理，证明SA⊥平面ABCD；
（2）建立空间直角坐标系，利用向量坐标法求二面角E-AC-D的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）证明：在题图中，由题意可知，BA⊥PD，ABCD为正方形，
∴在图2中，SA⊥AB，SA=2，
四边形ABCD是边长为2的正方形，
∵SB⊥BC，AB⊥BC，且SB∩AB=B，
∴BC⊥平面SAB，
又SA?平面SAB，
∴BC⊥SA，
又SA⊥AB，且BC∩AB=B，
∴SA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）解：方法一：如图2，在AD上取一点O，使

AO

=

1

3

AD

，连接EO．
∵

SE

=

1

3

SD

，
∴EO∥SA，
所以EO⊥平面ABCD，过O作OH⊥AC于H，连接EH，
则AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．
∴∠EHO为二面角E-AC-D的平面角，
EO=

2

3

SA=

4

3

．
在Rt△AHO中，∠HAO=45°，  HO=AO • sin45°=

2

3

×

2

2

=

2

3

．
∴二面角E-AC-D的余弦值为

1

3

．
方法二：以A为原点建立空间直角坐标系，
如图3，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S(0，  0，  2)，  E(0，  

2

3

，  

4

3

)，
易知平面ACD的法向量为

AS

=(0，  0，  2)，
设平面EAC的法向量为

n

=(x，  y，  z)，

AC

=(2，  2，  0)，  

AE

=(0，  

2

3

，  

4

3

)，
由

n  •  AC =0 n  •  AE =0

，
∴

x+y=0 y+2z=0

可取

x=2 y=-2 z=1

∴

n

=(2，  -2，  1)，
∴cos＜

n

，  

AS

＞=

n  •  AS

| n || AS |

=

2

2×3

=

1

3

，
∴二面角E-AC-D的余弦值为

1

3

．

点评：本题主要考查空间位置关系的判断，以及空间二面角和直线所成角的大小求法，建立空间直角坐标系，利用向量坐标法是解决此类问题比较简洁的方法．