Question

10．已知在△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且$C=\frac{π}{3}$．
（Ⅰ）若c²=4a²-ab，求$\frac{sinB}{sinA}$；
（Ⅱ）求sinA•sinB的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用余弦定理a²+b²-ab=4a²-ab，得$b=\sqrt{3}a$．由正弦定理得$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}$，得$\frac{sinB}{sinA}=\sqrt{3}$．  
（Ⅱ）由C的度数求出A+B的度数，用A表示出B，代入所求式子中利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出所求式子的最大值．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理及题设 c²=a²+b²-ab=4a²-ab，得$b=\sqrt{3}a$．
由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，$\frac{b}{a}=\frac{sinB}{sinA}$，得$\frac{sinB}{sinA}=\sqrt{3}$．   …（6分）
（Ⅱ）由已知$A+B=\frac{2π}{3}$，
$sinA•sinB=sinAsin（\frac{2}{3}π-A）=sinA（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosA+\frac{1}{2}sinA）$
=$\frac{1}{2}sin（2A-\frac{π}{6}）+\frac{1}{4}$，
∵$0＜A＜\frac{2π}{3}$，∴当$A=\frac{π}{3}$时，sinAsinB取最大值$\frac{3}{4}$．…（12分）

点评 本题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．属于中档题．