Question

17．已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，且球心O在线段PC上，PA⊥平面ABCD，E为AB的中点，∠BCD=90°
（1）求证：OE∥平面PAD
（2）若PA=AB=4，AD=3，求三棱锥O-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）取BD的中点O′，连结OO′，O′E．证明平面O′OE∥平面PAD，从而得出OE∥平面PAD；
（2）由球的性质可得AB⊥AD，OO′⊥平面ABCD，OO′=$\frac{1}{2}PA$=2．代入棱锥的体积公式计算即可．

解答 解：（1）取BD的中点O′，连结OO′，O′E．
∵∠BCD=90°，∴O′是截面ABCD所在圆的圆心，
∴OO′⊥平面ABCD．∵PA⊥平面ABCD，
∴OO′∥PA，∵OO′?平面PAD，PA?平面PAD，
∴OO′∥平面PAD．
∵O′是BD的中点，E是AB的中点，
∴O′E∥AD，∵O′E?平面PAD，AD?平面PAD，
∴O′E∥平面PAD，∵O′E?平面O′OE，OO′?平面O′OE，O′E∩OO′=O′，
∴平面O′OE∥平面PAD，∵OE?平面O′OE，
∴OE∥平面PAD．
（2）∵OA=OP，PA⊥平面ABCD，O′O⊥平面ABCD，∴OO′=$\frac{1}{2}PA$=2．
∵BD是⊙O′的直径，∴AB⊥AD，又∵AE=$\frac{1}{2}AB$=2，
∴V_棱锥O-ADE=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×$AD×AE×OO′=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×3×2×2$=2．

点评 本题考查了线面平行的判定，棱锥与球的结构特征，空间几何体的体积计算，属于中档题．