Question

7．在△ABC中，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AC}$|=1，∠BAC=$\frac{π}{3}$，O为△ABC的内心，则$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{AB}$的值为$\sqrt{3}-3$．

Answer 1

分析 可设切点分别为D，E，F，并连接OD，OE，OF，并画出图形，根据条件由余弦定理可求得BC=$\sqrt{3}$，根据三角形的面积公式可得到$\frac{1}{2}•2•1•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}（2+1+\sqrt{3}）r$，r为内切圆半径，从而可求r，进而求出OA，从而由向量数量积的计算公式即可求出$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}$的值．

解答 解：如图，设切点分别为D，E，F，连接OD，OE，OF；

在△ABC中，由余弦定理得，$B{C}^{2}=4+1-2×2×1×\frac{1}{2}=3$；
∴$BC=\sqrt{3}$，设内切圆半径为r，则：${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•2•1•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}（2+1+\sqrt{3}）r$；
∴$r=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$；
又$∠DAO=\frac{π}{6}$；
∴在Rt△ADO中，AO=$\sqrt{3}-1$；
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{AB}=|\overrightarrow{OA}||\overrightarrow{AB}|cos\frac{5π}{6}$=$（\sqrt{3}-1）×2×（-\frac{\sqrt{3}}{2}）=\sqrt{3}-3$．
故答案为：$\sqrt{3}-3$．

点评 考查三角形内心的定义，余弦定理，三角形的面积公式，以及向量数量积的计算公式．