Question

5．对一个质点在平面直角坐标系中的运动观察了5次，得到数据如下：（174，175），（176，175），（176，176），（176，177），（178，177），建立的回归直线方程为y=kx+88，其对应的直线的倾斜角为β，则sin2β+2cos2β=（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用回归直线方程过样本中心点，求出k，可得tanβ=$\frac{1}{2}$，利用sin2β+2cos2β=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$+$\frac{2（1-ta{n}^{2}β）}{1+ta{n}^{2}β}$，即可得出结论．

解答 解：由题意，$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（174+176+176+176+178）=176，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（175+175+176+177+177）=176，
∵回归直线方程为y=kx+88，
∴176=176k+88，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∵直线的倾斜角为β，
∴tanβ=$\frac{1}{2}$，
∴sin2β+2cos2β=$\frac{2tanβ}{1+ta{n}^{2}β}$+$\frac{2（1-ta{n}^{2}β）}{1+ta{n}^{2}β}$
=$\frac{1}{1+\frac{1}{4}}$+$\frac{2（1-\frac{1}{4}）}{1+\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{5}$+$\frac{6}{5}$=2，
故选：C．

点评 本题考查回归直线方程，考查三角函数知识的运用，正确转化是关键．