Question

19．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）的右焦点为F₂，O为坐标原点，M为y轴上一点，点A是直线MF₂与椭圆C的一个交点，且|OA|=|OF₂|=2|OM|，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{5}}{3}$

Answer 1

分析 取椭圆的左焦点为F₁，连接AF₁，依题意可得$∠{F}_{1}A{F}_{2}=9{0}^{0}$．△F₁AF₂∽△MOF₂，⇒$\frac{A{F}_{1}}{A{F}_{2}}=\frac{OM}{O{F}_{2}}=\frac{1}{2}$，由$A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$⇒$（\frac{2a}{3}）^{2}+（\frac{4a}{3}）^{2}=（2c）^{2}$
即可求解．

解答 解：如图，取椭圆的左焦点为F₁，连接AF₁，
依题意：|OA|=|OF₂|=2|OM|=c，可得$∠{F}_{1}A{F}_{2}=9{0}^{0}$．
△F₁AF₂∽△MOF₂，⇒$\frac{A{F}_{1}}{A{F}_{2}}=\frac{OM}{O{F}_{2}}=\frac{1}{2}$，
∵AF₁+AF₂=2a，∴$A{F}_{1}=\frac{2a}{3}，A{F}_{2}=\frac{4a}{3}$．
由$A{{F}_{1}}^{2}+A{{F}_{2}}^{2}={F}_{1}{{F}_{2}}^{2}$⇒$（\frac{2a}{3}）^{2}+（\frac{4a}{3}）^{2}=（2c）^{2}$
$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{5}{9}$，∴$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$．
则椭圆C的离心率为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
故选：D

点评 本题考查椭圆的离心率，考查椭圆定义的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．