Question

已知f（x+1）是定义域为R的偶函数，且x≥1时，f(x)=(

1

2

)x-log2x，若a∈（1，2），则下列不正确的是（　　）

• A．f(

  1+a

  2

  )＜f(

  a

  )
• B．f（a²+1）＜f（-3）
• C．|f（a）|＜|f（0）|
• D．f（a²-a+1）＜f（a）

Answer 1

分析：根据条件得到对称性和函数的单调性，然后画出满足条件的图象，结合图象进行解题即可．

解答：解：∵f（x+1）是定义域为R的偶函数∴f（x）关于x=1对称即f（x+1）=f（-x+1）
∵x≥1时，f(x)=(

1

2

)x-log2x，
∴f（x）在[1，+∞）上单调递减
根据f（x）关于x=1对称可知f（x）在（-∞，1）上单调递增
∴f（1）=

1

2

，f（2）=-

3

4

结合图象可知|f（a）|＜|f（0）|
∵1＜

1+a

2

＜

a

∴f(

1+a

2

)＜f(

a

)
∵a²-a+1＞a＞1
∴f（a²-a+1）＜f（a）
∵1＜a²+1＜5
∴f（a²+1）＞f（5）=f（-3）故选项B不正确
故选B．

点评：本题主要考查了抽象函数的应用，同时考查了函数奇偶性和单调性，同时考查了数形结合的方法，属于中档题．