题目内容
2．
如图，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，DE∥AF，AF=AD．（1）求证：直线BF∥平面CDE；
（2）若直线BE与平面ADEF所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$，试推断平面CEF与平面CDF是否垂直．说明你的理由．
分析 （1）由CD∥BA，又DE∥AF，可证平面CDE∥平面ABF，利用面面平行的性质可证BF∥平面CDE．
（2）先证明AB⊥平面ADEF，连接AE，则sin∠AEB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，由余弦定理可证EF⊥DF，进而证明EF⊥CD，利用面面垂直的判定定理即可得证平面CEF与平面CDF垂直．
解答 （本题满分为12分）
解：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴CD∥BA，
又∵DE∥AF，∴平面CDE∥平面ABF，
∵BF?平面ABF，
∴BF∥平面CDE…4分
（2）∵ED⊥平面ABCD，则ED⊥AB，
又AD⊥AB，
则AB⊥平面ADEF，
连接AE，则∠AEB为直线BE与平面ADEF所成的角，
由已知，sin∠AEB=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，…6分
设AB=1，则BE=$\sqrt{6}$，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴DE=$\sqrt{A{E}^{2}-A{D}^{2}}$=2，…8分
∵ED⊥AD，DE∥AF，AF=AD，则∠EDF=45°，
又∵DF=$\sqrt{2}$，则EF2=DE2+DF2-2DE•DFcos45°=2，即EF=$\sqrt{2}$，…9分
∴DF2+EF2=DE2，即EF⊥DF，…10分
由已知，CD⊥DE，CD⊥AD，则CD⊥平面ADEF，所以EF⊥CD，…11分
∴EF⊥平面CDF，
∵EF?平面CEF，
∴平面CEF⊥平面CDF．…12分
点评 本题主要考查了面面平行的性质，余弦定理，面面垂直的判定以及线面平行的判定，考查了空间想象能力和推理论证能力，考查了转化思想，属于中档题．
练习册系列答案
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9．某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：
学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等．
（Ⅰ）甲至少选1门艺术体育类课程，同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少？
（Ⅱ）求甲选的3门课程正好是7学分的概率；
（Ⅲ）设甲所选3门课程的学分数为X，写出X的分布列，并求出X的数学期望．
| 人文科学类 | 自然科学类 | 艺术体育类 | |
| 课程门数 | 4 | 4 | 2 |
| 每门课程学分 | 2 | 3 | 1 |
（Ⅰ）甲至少选1门艺术体育类课程，同时乙至多选1门自然科学类课程的概率为多少？
（Ⅱ）求甲选的3门课程正好是7学分的概率；
（Ⅲ）设甲所选3门课程的学分数为X，写出X的分布列，并求出X的数学期望．