Question

已知函数g（x）=

ax

x+1

（a∈R），f（x）=ln（x+1）+g（x）．
（1）若函数g（x）过点（1，1），求函数f（x）的图象在x=0处的切线方程；
（2）判断函数f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）代入点（1，1），求得a=2，求出f（x）的导数，求得切线的斜率和切点，即可得到切线方程；
（2）求出f（x）的导数，对a讨论，当a≥0时，当a＜0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间．

解答： 解：（1）函数g（x）=

ax

x+1

过点（1，1），
则有1=

a

2

，即a=2，
f（x）=ln（x+1）+g（x）=ln（x+1）+

2x

x+1

，
f′（x）=

1

x+1

+

2

(x+1)2

，
则函数f（x）的图象在x=0处的切线斜率为3，
切点为（0，0），
即有函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=3x；
（2）f（x）=ln（x+1）+

ax

x+1

，
f′（x）=

1

x+1

+

a

(x+1)2

=

x+1+a

(x+1)2

，
由x+1＞0，解得x＞-1，
当a≥0时，x＞-1时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当a＜0时，x＞-1-a时，f′（x）＞0，f（x）递增，
当-1＜x＜-1-a时，f′（x）＜0，f（x）递减．
综上可得，当a≥0时，f（x）的增区间为（-1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的增区间为（-1-a，+∞），减区间为（-1，-1-a）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和单调区间，运用导数的几何意义和分类讨论的思想方法是解题的关键．