Question

10．设函数f（x）=ax²+bx+b-1（a≠0）．
（1）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的零点；
（2）若对任意b∈R，函数f（x）恒有两个不同零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）解方程f（x）=0得出f（x）的零点；
（2）令△＞0得出关于b的不等式b²-4ab+4a＞0恒成立，再令判别式△′＜0解出a的范围．

解答 解：（1）当a=1，b=-2时，f（x）=x²-2x-3．
令f（x）=0，得x=3或x=-1．
所以函数f（x）的零点为3和-1．
（2）方程ax²+bx+b-1=0有两个不同实根．
∴△=b²-4a（b-1）＞0．
即对于任意b∈R，b²-4ab+4a＞0恒成立．
∴16a²-16a＜0，即a²-a＜0，解得0＜a＜1．
∴实数a的取值范围是（0，1）．

点评 本题考查了二次函数的性质，函数零点的个数与方程的关系，属于中档题．