Question

2．双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b，b＞0）的左、右焦点分别是F₁，F₂，过左焦点F₁的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A，B两点，|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：3：4，则双曲线的离心率是（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{15}$
• C． $\sqrt{34}$
• D． $\frac{{\sqrt{34}}}{2}$

Answer 1

分析 故

解答 解：∵|AB|：|BF₂|：|AF₂|=3：3：4，
不妨令|AB|=3t，|BF₂|=3t，|AF₂|=4t，
由双曲线的定义得：|BF₁|-|BF₂|=2a，即
|AB|+|AF₁|-|BF₂|=2a，
即|AF₁|=2a，
又|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a=4t，
∴t=a，
即|AB|=3a，|BF₂|=3a，|AF₂|=4a，
∵cos∠BAF₂=-cos∠F₁AF₂，
∴$\frac{9{a}^{2}+16{a}^{2}-9{a}^{2}}{2×3a×4a}$=-$\frac{4{a}^{2}+16{a}^{2}-4{c}^{2}}{2×2a×4a}$，
即$\frac{2}{3}$=-$\frac{5{a}^{2}-{c}^{2}}{4{a}^{2}}$，
整理得3c²=7a²，
即$\sqrt{3}$c=$\sqrt{7}$a，
则$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，

点评 本题考查双曲线的简单性质，考查转化思想与运算能力，根据条件建立方程组，根据直角三角形的边长关系建立方程是解决本题的关键．属于中档题．