Question

13．函数y=f（x）是定义在无限集合D上的函数，并且满足对于任意的x∈D，f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，…，f_n（x）=f[f_n-1（x）]，（n≥2，n∈N）．
①若y=f（x）=$\frac{1+x}{1-3x}$，则f₈（1）=0；
②试写出满足下面条件的一个函数y=f（x）：存在x₀∈D，使得由f₁（x₀），f₂（x₀），…，f_n（x₀），…组成的集合有且仅有两个元素，这样的函数可以是f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$（只需写出一个满足条件的函数）

Answer 1

分析 ①由已知条件分别求出f₁（x），f₂（x），f₃（1），f₄（1）的值，由函数值周期性出现可得f₈（1）；
②直接举出分段函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，取x₀=1，可得当n为奇数时，f_n（x₀）=-1，当n为偶数时，f_n（x₀）=1．

解答 解：①∵y=f（x）=$\frac{1+x}{1-3x}$，且f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，…，
f_n（x）=f[f_n-1（x）]，（n≥2，n∈N）．
∴f₁（1）=$\frac{1+1}{1-3×1}$=-1，f₂（1）=$\frac{1-1}{1-3×（-1）}$=0，f₃（1）=$\frac{1+0}{1-3×0}$=1，
f₄（1）=$\frac{1+1}{1-3×1}$=-1，…，以此类推，f₈（1）=0；
②分段函数：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$，取x₀=1，则f₁（x₀）=-1，f₂（x₀）=1，…
当n为奇数时，f_n（x₀）=-1，当n为偶数时，f_n（x₀）=1．
∴由f₁（x₀），f₂（x₀），…，f_n（x₀），…组成的集合有且仅有两个元素-1，1．
故答案为：（1）0；（2）$\left\{\begin{array}{l}{-1，x≥0}\\{1，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题考查抽象函数及其应用，对题意的理解是解答该题的关键，是中档题．