Question

13．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面ABC是等腰直角三角形，且斜边AB=2$\sqrt{2}$，侧棱AA₁=3，点D为AB的中点，点E在线段AA₁上，AE=λAA₁（λ为实数）．
（1）求证：不论λ取何值时，恒有CD⊥B₁E；
（2）求多面体C₁B-ECD的体积．

Answer 1

分析 （1）证明CD⊥平面ABB₁A₁即可得出CD⊥B₁E；
（2）将多面体分解成棱锥C₁-CDE和棱锥C₁-BCD，分别求出两个小棱锥的体积即可．

解答 证明：（1）∵AC=BC，点 D 为 AC 的中点，
∴CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面 ABC，CD?平面 ABC，
∴AA₁⊥CD，
又AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，AA₁∩AB=A，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
又不论λ取何值B₁E?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥B₁E．
（2）∵AB=2$\sqrt{2}$，AC⊥BC，∴AC=BC=2，
∴V${\;}_{{C}_{1}-CDE}$=V${\;}_{D-C{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$V${\;}_{B-C{C}_{1}E}$=$\frac{1}{2}$S${\;}_{△C{C}_{1}E}$•BC=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×3×2$=1．
又V${\;}_{{C}_{1}-BCD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•A{A}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×2×2×3$=1，
所以多面体C₁B-ECD的体积为V${\;}_{{C}_{1}-CDE}$+V${\;}_{{C}_{1}-BCD}$=2．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．