Question

5．已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上，焦距等于短轴长，设不过原点的直线l与椭圆C交于M、N两点，满足直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若椭圆C过点（2，0），求直线l的斜率．

Answer 1

分析 （1）设出椭圆的方程，由题意可知b=c，可求得a=$\sqrt{2}$c，利用离心率公式求得e的值；
（2）由题意可知a=2，即可求得椭圆的方程，设出C和D点坐标及直线方程，代入椭圆方程，消去y得到关于x的二次方程，利用韦达定理得到关于两个交点的坐标的关系，将直线OP，PQ，OQ的斜率用坐标表示，据已知三个斜率成等比数列，列出方程，将韦达定理得到的等式代入，求出k的值．

解答 解：（1）焦点在x轴上，椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由焦距等于短轴长，即b=c，
a²=b²+c²，a=$\sqrt{2}$c，
椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴椭圆C的离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）椭圆C过点（2，0），a=2，b=$\sqrt{2}$，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，
设点M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直线方程为：y=kx+t，t≠0，
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1}\\{y=kx+t}\end{array}\right.$，整理得：（2k²+1）x²+4ktx+2t²-4=0，
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{4kt}{2{k}^{2}+1}$，x₁•x₂=$\frac{2{t}^{2}-4}{2{k}^{2}+1}$，
满足直线OM、MN、ON的斜率依次成等比数列，由等比中项可知：
k²=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$•$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$，整理得（kx₁+t）（kx₂+t）=k²x₁x₂，
∴k（x₁+x₂）+t=0，
∴$\frac{-4{k}^{2}t}{2{k}^{2}+1}$+t=0，解得k²=$\frac{1}{2}$，
直线l的斜率±$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查求得圆锥曲线的方程，直线与圆锥曲线的位置关系问题，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题．