题目内容

4．在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A，则△ABC一定是（　　）三角形．
A．锐角B．直角C．等腰D．等腰或直角

分析 已知等式利用同角三角函数间基本关系切化弦，整理后再利用二倍角的余弦公式变形得到sin2A=sin2B，进而得到A=B，或2A+2B=π，即可确定出三角形的形状．

解答 解：在△ABC中，tanAsin2B=tanBsin2A，
化简得：$\frac{sinA}{cosA}$•sin2B=$\frac{sinB}{cosB}$•sin2A，
整理得：sinBcosB=sinAcosA，
化简得：sin2A=sin2B，
∴2A=2B，或2A+2B=π，
即A=B，或A+B=$\frac{π}{2}$，
则△ABC为等腰三角形或直角三角形．
故选：D．

点评 此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题．

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