Question

2．已知 $\overrightarrow a$=（2sinx，sinx-cosx），$\overrightarrow b$=（$\sqrt{3}$cosx，sinx+cosx），记函数$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（1）求函数f（x）取最大值时x的取值集合；
（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=2csinA，c=$\sqrt{7}$，且△ABC的面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，求a+b的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的乘积的运算求出f（x）的解析式，化简，结合三角函数的性质求解．
（2）利用正余弦定理求解a+b的值．

解答 解：（1）由题意，得$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b=\sqrt{3}sin2x-cos2x=2sin（2x-\frac{π}{6}）$，
当函数f（x）取最大值，即$sin（2x-\frac{π}{6}）$=1时：$2x-\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），
解得：x=$kπ+\frac{π}{3}$，
所以：f（x）取最大值时x的取值集合为{x|x=$kπ+\frac{π}{3}$}；
（2）∵a=2csinA，
由正弦定理得，$\frac{a}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$
∴$\frac{2csinA}{sinA}$=$\frac{c}{sinC}$
∵sinA≠0，
∴sinC=$\frac{1}{2}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．
∵△ABC面积为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absin$\frac{π}{3}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
解得：ab=6．①
∵c=$\sqrt{7}$，
∴由余弦定理得a²+b²-2abcos$\frac{π}{3}$=7，
即a²+b²-ab=7．②
由②变形得（a+b）²=3ab+7．③
将①代入③得（a+b）²=25，
故a+b=5．

点评 本题考查了向量的乘积运算以及三角函数性质的运用能力，考了正余弦定理的运用．属于中档题．