Question

8．已知函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+5bx$，若a，b是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，则使函数f（x）有极值点的概率为$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 求出导数，由导数数值为0得到使函数f（x）有极值点的充要条件是a²≥5b，由此利用列举法能求出使函数f（x）有极值点的概率．

解答 解：∵函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+a{x^2}+5bx$，
∴f′（x）=x²+2ax+5b，
由f′（x）=x²+2ax+5b=0有解，得△=4a²-20b≥0，
∴使函数f（x）有极值点的充要条件是a²≥5b，
∵a，b是从集合{1，2，3，4}中任取两个不同的数，
∴基本事件总数为4×3=12，
满足a²≥5b的有：（4，1），（4，2），（4，3），（3，1），共4种，
∴使函数f（x）有极值点的概率为p=$\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$．
故答案为：$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意导数性质、列举法的合理运用．