Question

设正整数构成的数列{an}使得a10k﹣9+a10k﹣8+…+a10k≤19对一切k∈N*恒成立．记该数列若干连续项的和为S（i，j），其中i，j∈N*，且i＜j．求证：所有S（i，j）构成的集合等于N*．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：显然S（i，j）∈N*，证明对任意n0∈N*，存在S（i，j）=n0．考虑10n0+10个前n项和，再考虑如下10n0+10个正整数：S1+n0＜S2+n0＜…＜S10n0+10+n0，由抽屉原理，必有两个相等，可得结论．

证明：显然S（i，j）∈N*． （2分）

下证对任意n0∈N*，存在S（i，j）=n0．

用Sn表示数列{an}的前n项和，考虑10n0+10个前n项和：S1＜S2＜…＜S10n0+10，（1）

由题设S10n0+10=（a1+a2+…+a10）+（a11+a12+…+a20）+…+（a10n0+1+a10n0+2+…+a10n0+10） （6分）

另外，再考虑如下10n0+10个正整数：S1+n0＜S2+n0＜…＜S10n0+10+n0，（2）

显然S10n0+10+n0≤20n0+19 （10分）

这样（1），（2）中出现20n0+20个正整数，都不超过20n0+19，

由抽屉原理，必有两个相等．

由于（1）式中各数两两不相等，（2）式中各数也两两不等，

故存在i，j∈N*，使得Sj=Si+n0，即j＞i，且n0=Sj﹣Si=S（i，j）．

所以，所有S（i，j）构成的集合等于N*． （16分）