Question

10．已知直线x-y+1=0与圆C：x²+y²-4x-2y+m=0交于A，B两点；
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）若|AB|=2$\sqrt{2}$，求m的值；
（3）在（2）的条件下，求过点P（4，4）的圆C的切线方程．

Answer 1

分析 （1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为-1，可得线段AB的垂直平分线的方程．
（2）利用|AB|=2$\sqrt{2}$，求出圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，从而可求m的值．
（3）分类讨论，利用圆心到直线的距离等于半径，即可得出结论．

解答 解：（1）由题意，线段AB的垂直平分线经过圆的圆心（2，1），斜率为-1，
∴方程为y-1=-（x-2），即x+y-3=0；
（2）圆x²+y²-4x-2y+m=0可化为（x-2）²+（y-1）²=-m+5，
∵|AB|=2$\sqrt{2}$，∴圆心到直线的距离为$\sqrt{3-m}$，
∵圆心到直线的距离为d=$\frac{|2-1+1|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，∴$\sqrt{3-m}=\sqrt{2}$，∴m=1
（3）由题意，知点P（4，4）不在圆上．
①当所求切线的斜率存在时，设切线方程为y-4=k（x-4），即kx-y-4k+4=0．由圆心到切线的距离等于半径，得$\frac{|2k-2+4-4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，
解得k=$\frac{5}{12}$，所以所求切线的方程为5x-12y+28=0
②当所求切线的斜率不存在时，切线方程为x=4
综上，所求切线的方程为x=4或5x-12y+28=0．

点评 本题考查点到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用，属于中档题．