题目内容

13．等差数列{an}中，前n项和为Sn，a1＞0，S12•S13＜0则n为何值时，Sn最大？

分析 设数列的公差为d，由a1＞0，S12•S13＜0，可得d＜0．Sn=$\frac{d}{2}$n2+$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$n，利用二次函数的单调性可得：12＜m＜13，抛物线的对称轴$6＜\frac{m}{2}$＜6.5，进而得出．

解答 解：设数列的公差为d，∵a1＞0，S12•S13＜0，∴d＜0．
Sn=na1+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n2+$（{a}_{1}-\frac{d}{2}）$n，
可得Sn是过原点的关于n的二次函数，由条件可知开口向下；设m是抛物线与x轴的另一个交点，则12＜m＜13，则抛物线的对称轴$6＜\frac{m}{2}$＜6.5，
∵n为正整数，∴S6最大．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的图象与性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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