题目内容
4．有两个命题，p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}；q：函数y=lg（ax2-x+a）的定义域为R．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．分析 对于命题p：利用指数函数的单调性可得：0＜a＜1．
对于命题q：函数y=lg（ax2-x+a）的定义域为R．等价于?x∈R，ax2-x+a＞0．对a分类讨论，利用函数的图象与性质即可得出．如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，即可得出．
解答 解：p：关于x的不等式ax＞1（a＞0，且a≠1）的解集是{x|x＜0}，∴0＜a＜1．
q：函数y=lg（ax2-x+a）的定义域为R．等价于?x∈R，ax2-x+a＞0．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．
（i）a=0 不成立．
（ii）a≠0 时，$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{△=1-4{a}^{2}＜0}\end{array}\right.$，解得$a＞\frac{1}{2}$，即q：a$＞\frac{1}{2}$．
如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p真q假，或p假q真，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0＜a＜1}\\{a≤\frac{1}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a≤0，或a≥1}\\{a＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$0＜a≤\frac{1}{2}$，或a≥1．
∴实数a的取值范围是$0＜a≤\frac{1}{2}$，或a≥1．
点评 本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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14．设$S_n^{\;}，T_n^{\;}$分别是等差数列$\{a_n^{\;}\}，\{b_n^{\;}\}$的前n项和，若$\frac{{S_n^{\;}}}{{T_n^{\;}}}=\frac{n}{2n+1}（n∈{N^*}）$，则$\frac{{a_5^{\;}}}{{b_5^{\;}}}$=（ ）
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15．
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如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为4的等腰三角形，侧视图是半径为2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）| A． | $4π+4\sqrt{3}$ | B． | $8π+4\sqrt{3}$ | C． | $4π+8\sqrt{3}$ | D． | $8π+8\sqrt{3}$ |
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