Question

9．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°且AB=AA₁=2，E，F分别是CC₁，BC的中点．
（1）求证：EF⊥平面AB₁F；
（2）求锐二面角B₁-AE-F的余弦值；
（3）若点M是AB上一点，求|FM|+|MB₁|的最小值．

Answer 1

分析 （1）推导出AF⊥EF，B₁F⊥EF，由此能证明EF⊥平面AB₁F．
（2）过点F作FP⊥AE，连结B₁P，则∠B₁PF就是二面角B₁-AE-F的平面角，由此能求出锐二面角B₁-AE-F的余弦值．
（3）∴将侧面BB₁A沿BA展开为BAO，使得BAO与平面BAC共面时，|FM|+|MB₁|的最小值为OF，由此能求出结果．

解答 证明：（1）∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，
∠BAC=90°且AB=AA₁=2，E，F分别是CC₁，BC的中点，
∴由条件知AF⊥平面CC₁BB₁，∴AF⊥EF，
由勾股定理得B₁F=$\sqrt{6}$，EF=$\sqrt{3}$，B₁E=3，
∵${B}_{1}{E}^{2}={{B}_{1}F}^{2}+E{F}^{2}$，∴B₁F⊥EF，
又∵B₁F∩AF=F，
∴EF⊥平面AB₁F．
解：（2）过点F作FP⊥AE，连结B₁P，
∵EA⊥PF，EA⊥B₁F，∴EA⊥平面B₁PF，∴EA⊥B₁P，
∴∠B₁PF就是二面角B₁-AE-F的平面角，
由题意得PF=$\frac{\sqrt{30}}{5}$，B₁P=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$，
∴cos∠B₁PF=$\frac{PF}{{B}_{1}P}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴锐二面角B₁-AE-F的余弦值为$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
（3）∵点M是AB上一点，
∴将侧面BB₁A沿BA展开为BAO，
使得BAO与平面BAC共面时，|FM|+|MB₁|的最小值为OF，
在△BFO中，BF=$\sqrt{2}$，BO=2，∠FBO=135°，
∴OF=$\sqrt{2+4-2×2×\sqrt{2}×cos135°}$=$\sqrt{10}$．
∴|FM|+|MB₁|的最小值为$\sqrt{10}$．

点评 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定及二面角的平面角的求法，其中在求二面角时，找出二面角的平面角是解答本题的关键