Question

16．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=120°，AB=2AD．
（1）求证：平面PAD⊥平面PBD；
（2）求二面角A-PB-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）令AD=1，求出BD=$\sqrt{3}$，从而AD⊥BD，进而BD⊥平面PAD，由此能证明平面PAD⊥平面PBD．
（2）以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-PB-C的余弦值．

解答 证明：（1）在平行四边形ABCD中，令AD=1，
则BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2×AD×AB×cos60°}$=$\sqrt{3}$，
在△ABD中，AD²+BD²=AB²，∴AD⊥BD，
又平面PAD⊥平面ABCD，
∴BD⊥平面PAD，BD?平面PBD，
∴平面PAD⊥平面PBD．
解：（2）由（1）得AD⊥BD，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，
过D作垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
令AD=1，则A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），C（-1，$\sqrt{3}$，0），P（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
$\overrightarrow{AB}$=（-1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{PB}$=（-$\frac{1}{2}，\sqrt{3}，-\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-1，0，0），
设平面PAB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{n}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}=-\frac{1}{2}x+\sqrt{3}y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，1，1$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-a=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=-\frac{1}{2}a+\sqrt{3}b-\frac{\sqrt{3}}{2}c=0}\end{array}\right.$，取b=1，得$\overrightarrow{m}$=（0，1，2），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1+2}{\sqrt{5}•\sqrt{5}}$=$\frac{3}{5}$，
由图形知二面角A-PB-C的平面角为钝角，
∴二面角A-PB-C的余弦值为-$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．