Question

6．已知等差数列{a_n}的公差d＞1，前10项和S₁₀=100，{b_n}为等比数列，公比为q，且q=d，b₁=a₁，b₂=2
（1）求a_n和b_n
（2）设${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{4{b_n}}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由S₁₀=100，可得10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=100，2a₁+9d=20．由{b_n}为等比数列，公比为q，且q=d，b₁=a₁，b₂=2，∴a₁d=2，解得a₁，d．
（2）${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{4{b_n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）∵S₁₀=100，∴10a₁+$\frac{10×9}{2}$d=100，∴2a₁+9d=20．
∵{b_n}为等比数列，公比为q，且q=d，b₁=a₁，b₂=2，∴a₁d=2，
解得a₁=1，d=2．∴a_n=2n-1．
∴b₁=1，q=2，b_n=2^n-1．
（2）${c_n}=\frac{{{a_n}+1}}{{4{b_n}}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n-1}{{2}^{n}}$+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$．
∴$\frac{1}{2}{T}_{n}$=$\frac{1}{2}+\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$．
∴T_n=2-$\frac{2+n}{{2}^{n}}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．