Question

4．已知函数f（x）=|x+2a|+|x-1|，a∈R．
（1）当a=1时，解不等式f（x）≤5；
（2）若f（x）≥2对于?x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解关于x的不等式，取并集即可；（2）根据绝对值的性质得到|2a+1|≥2，解出即可．

解答 解：（1）a=1时，f（x）=|x+2|+|x-1|，
①x≥1时，x+2+x-1≤5，解得：x≤2；
②-2＜x＜1时，x+2+1-x=3≤5成立；
③x≤-2时，-x-2-x+1≤5，解得：x≥-3，
综上，不等式的解集是[-3，2]．
（2）若f（x）≥2对于?x∈R恒成立，
即|x+2a|+|x-1|≥|2a+1|≥2，
解得：a≥$\frac{1}{2}$或a≤-$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．