Question

y轴上两定点B₁（0，b）、B₂（0，-b），x轴上两动点M，N．P为B₁M与B₂N的交点，点M，N的横坐标分别为X_M、X_N，且始终满足X_MX_N=a²（a＞b＞0且为常数），试求动点P的轨迹方程．

Answer 1

分析：先设P（x，y），M（x_m，0），N（x_n，0），由M，P，B₁三点共线，得出它们的坐标之间的关系，再结合题中条件：“X_MX_N=a²”得到关于x，y的关系式即为点P轨迹方程．

解答：解：设P（x，y），M（x_m，0），N（x_n，0）（2分）
由M，P，B₁三点共线，知

y-b

x-0

=

0-b

xm-0

（4分）
所以xm=

bx

b-y

（6分）
同理得xn=

bx

b+y

（9分）x_m•x_n=

b2x2

b2-y2

=a2（10分）
故点P轨迹方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（12分）

点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．