Question

5．已知函数f（x）=1-x²，函数g（x）=2ax-3a+2（a＞0），若对任意的x₁∈[0，1]存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的值是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 函数f（x）=1-x²，对x∈[0，1]，考点函数f（x）单调递减，可得f（x）∈[f（1），f（0）]=[0，1]．若对任意的x₁∈[0，1]存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，可得g（x）=2ax-3a+2（a＞0），x∈[$\frac{1}{2}$，1]的值域为[0，1]．由于a＞0，函数g（x）单调递增，即可得出．

解答 解：函数f（x）=1-x²，对x∈[0，1]，则函数f（x）单调递减，∴f（x）∈[f（1），f（0）]=[0，1]．
∵若对任意的x₁∈[0，1]存在x₂∈[$\frac{1}{2}$，1]使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴g（x）=2ax-3a+2（a＞0），x∈[$\frac{1}{2}$，1]的值域为[0，1]．
由于a＞0，函数g（x）单调递增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（\frac{1}{2}）=a-3a+2=0}\\{g（1）=2a-3a+2=1}\end{array}\right.$，解得a=1．
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．