Question

11．已知函数f（x）=alnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{2{x}^{2}}$（a∈R）．
（1）讨论f（x）的增减性；
（2）求证：4x²lnx-3x²+2x+1≥0．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，判断函数的单调性即可；
（2）令g（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{2x}^{2}}$，x＞0，求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出g（x）的最小值，从而证出结论．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{ax}^{2}-x-1}{{x}^{3}}$，
a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，+∞）递减；
a＞0时，由f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$＞0，x₂=$\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2a}$＜0，
∴f（x）在（0，$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$）递减，在（$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2a}$，+∞）递增；
（2）证明：令g（x）=2lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{2x}^{2}}$，x＞0，
则g′（x）=$\frac{（2x+1）（x-1）}{{x}^{3}}$，
∴g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴g（x）_min=g（1）=$\frac{3}{2}$，
∴2lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{2x}^{2}}$≥$\frac{3}{2}$，
整理得：4x²lnx-3x²+2x+1≥0．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道中档题．