Question

7．设直线y=k（x-2）（k＞0）与抛物线C：y²=16x交于A、B两点，点F为直线与x轴的交点，且$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，则k的值为（　　）

• A． $\frac{1}{4}$
• B． 8
• C． $\frac{1}{2}$
• D． 4

Answer 1

分析 先设点A，B的坐标，将直线方程与抛物线方程联立消去y得到关于x的一元二次方程，运用韦达定理，再根据向量的有关知识得到坐标的关系，进而代入抛物线的方程中解方程即可得到k的值．

解答 解：直线y=k（x-2）与抛物线C：y²=16x联立，
可得k²（x-2）²-16x=0，即为k²x²-（4k²+16）x+4k²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F（2，0），
可得x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}+16}{{k}^{2}}$，y₁+y₂=k（x₁+x₂-4）=k（$\frac{4{k}^{2}+16}{{k}^{2}}$-4）=$\frac{16}{k}$，①
即有$\overrightarrow{AF}$=（2-x₁，-y₁），$\overrightarrow{FB}$=（x₂-2，y₂），
由$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，
可得$\left\{\begin{array}{l}{2-{x}_{1}=2（{x}_{2}-2）}\\{-{y}_{1}=2{y}_{2}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=6-2{x}_{2}}\\{{y}_{1}=-2{y}_{2}}\end{array}\right.$，②
①②联立可得，x₂=$\frac{2{k}^{2}-16}{{k}^{2}}$，y₂=-$\frac{16}{k}$，
代入抛物线方程y²=16x可得$\frac{256}{{k}^{2}}$=16•$\frac{2{k}^{2}-16}{{k}^{2}}$，
化简可得2k²=32，
由k＞0可得k=4．
故选：D．

点评 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，方程的根与系数关系的应用，以及向量的坐标表示的应用，考查运算能力，属于中档题．