Question

15．设数列{a_n}的前项n和为S_n，若对于任意的正整数n都有S_n=2a_n-3n，
（1）设b_n=a_n+3，求证：数列{b_n}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
（2）求数列{nb_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）S_n=2a_n-3n，n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为：a_n+3=2（a_n-1+3），可得b_n=2b_n-1，n=1时，a₁=2a₁-3，解得a₁．即可证明．再利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）nb_n=2n•3ⁿ．利用错位相减法即可得出．

解答 （1）证明：∵S_n=2a_n-3n，∴n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3n-[2a_n-1-3（n-1）]，
化为：a_n+3=2（a_n-1+3），
∴b_n=2b_n-1，
n=1时，a₁=2a₁-3，解得a₁=3．
∴b₁=6．
∴数列{b_n}是等比数列，首项为6，公比为3．
∴b_n=a_n+3=6×3^n-1，
∴a_n=2×3ⁿ-3．
（2）解：nb_n=2n•3ⁿ．
∴数列{nb_n}的前n项和T_n=2[3+2×3²+3×3³+…+n•3ⁿ]，
3T_n=2[3²+2×3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹]，
∴-2T_n=2[3+3²+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹]=2×$[\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n•{3}^{n+1}]$，
∴T_n=$\frac{（2n-1）•{3}^{n+1}+3}{2}$．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．