Question

已知{a_n}是一个单调递增的等差数列，且满足a₂a₄=21，a₁+a₅=10，数列{b_n}的前n项和为2S_n=3（b_n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）证明数列{b_n}是等比数列．

Answer 1

考点：数列递推式,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，利用条件求出a₃=5．结合a₂a₄=21，求出d，然后求解a_n．
（Ⅱ）利用2S_n=3（b_n-1），结合b_n=S_n-S_n-1，得到数列的递推关系式，通过等比数列的定义证明数列是等比数列．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列{a_n}的公差为d，则依题知d＞0．
由2a₃=a₁+a₅=10，又可得a₃=5．
由a₂a₄=21，得（5-d）（5+d）=21，可得d=2．
所以a₁=a₃-2d=1．可得a_n=2n-1（n∈N*）…（6分）
（Ⅱ）证明：由已知2S_n=3（b_n-1），得Sn=

3

2

(bn-1)n≥2时，bn=Sn-Sn-1=

3

2

(bn-1)-

3

2

(bn-1-1)=

3

2

(bn-bn-1)，
所以b_n=3b_n-1，

bn

bn-1

=3(n≥2)
又2b₁=2S₁=3（b₁-1），解得b₁=3
所以数列{b_n}是首项为3，公比为3的等比数列．…（12分）

点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，等比数列的判定，数列递推关系式的应用，考查计算能力．