Question

已知椭圆，抛物线，过椭圆C₁右顶点的直线l交抛物线C₂于A，B两点，射线OA，OB分别与椭圆交于点D，E，点O为原点．
（Ⅰ）求证：点O在以DE为直径的圆的内部；
（Ⅱ）记△ODE，△OAB的面积分别为S₁，S₂，问是否存在直线l使S₂=3S₁？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l：x=my+2，代入y²=4x，根据方程的根与系数关系可求y₁+y₂，y₁y₂，要证明点O在以DE为直径的圆的内部；只要证明即可
（2）设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄），则射线，代入得，同理可得，代入检验即可验证
解答：（1）证明：设直线l：x=my+2，代入y²=4x得y²-4my-8=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-8，x₁x₂=（my₁+2）（my₂+2）=m²y₁y₂+2m（y₁+y₂）+4
∴=
∴∠AOB＞90°即∠DOE＞90°
∴点O在以DE为直径的圆的内部
（2）设D（x₃，y₃），E（x₄，y₄）
则射线，代入得，
同理
∴===
=
=
==9
∴m²=
故不存在满足条件的直线l
点评：本题主要考查了直线与抛物线的 相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，属于综合性试题